Question

【題目】已知：在平面四邊形ABCD中，，，，（如圖1），若將沿對角線BD折疊，使（如圖2）.請在圖2中解答下列問題.

（1）證明：；

（2）求三棱錐的高.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

(1)在圖1中，根據平面幾何知識可得BC=1且∠CBD＝90°，在圖2中可以得到AC2=AB2+CB2，從而可證明BC⊥平面ABD從而可證明結論.

(2)由（1）有，用等體積法有.

證明：法1：由左圖知，

在△BDC中，∠CBD＝135°-45°=90°，

∠BDC＝75°-45°=30°，

，所以BC=1，

又在右圖中，因為AC，AB＝AD，所以AC2=AB2+CB2

所以BC⊥AB

又因為∠CBD＝90°，所以BC⊥平面ABD

所以BC⊥AD

法2：如右圖，設BD的中點為O，連結A0，CO，因為∠A＝90°，AB＝AD

則

由左圖知，在△BDC中，∠CBD＝135°-45°=90°

∠BDC＝75°-45°=30°，所以BC=1，所以

又因為AC，所以AC2=AO2+CO2

所以AO⊥CO，所以AO⊥平面BCD，所以平面ABD⊥平面BCD，又∠CBD=90°

所以BC⊥平面ABD， 所以BC⊥AD

（2）因為AB＝AD，AC，CD2=BC2+BD2=4

所以CD2=AC2+AD2，所以AC⊥AD

設三棱錐B－ADC的高為h，則