Question

【題目】已知橢圓C：(a＞b＞0)，左、右焦點(diǎn)分別為F1(﹣1，0)，F2(1，0)，橢圓離心率為，過點(diǎn)P(4，0)的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)）．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若B是AP的中點(diǎn)，求直線l的方程；

（3）若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是E，證明：直線AE與x軸相交于定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）或；

（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)和離心率可求得，根據(jù)可求得橢圓方程；（2）設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得；代入橢圓方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線斜率，利用點(diǎn)斜式方程可求得結(jié)果；（3）設(shè)，，則，設(shè)所求定點(diǎn)，根據(jù)三點(diǎn)共線斜率相等可構(gòu)造等式求得，利用韋達(dá)定理表示出后可整理化簡得到，從而證得結(jié)論.

（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知：

又橢圓離心率

橢圓方程為：

（2）設(shè)

是中點(diǎn)，

都在橢圓上 ，解得：或

或 或

直線方程為：

即：或

（3）設(shè)，，則

設(shè)為直線與軸的交點(diǎn)，且

三點(diǎn)共線 ，解得：

設(shè)直線方程為：，

則，

聯(lián)立，化簡得：

，

則

直線與軸相交于定點(diǎn)