Question

【題目】已知為圓上一動點，在軸，軸上的射影分別為點，，動點滿足，記動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點的直線與曲線交于，兩點，判斷以為直徑的圓是否過定點？求出定點的坐標；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點

【解析】

（1）設，，利用所給條件建立關系式，利用點在上可得的方程，即為所求；

（2）設頂點為，設出直線的方程，與橢圓的方程聯立方程組，得到根與系數的關系，以及，利用向量的數量積為0得到恒等式，求得的坐標即可．

（1）設，，則，

由，可得，代入，得，

故曲線的方程為；

（2）假設存在滿足條件的定點，

由對稱性可知該定點必在軸上，設定點為，

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

聯立得，

設，，

則，，

所以，

，

因為，，

所以，

對任意的恒成立，

所以，解得，即定點為，

當直線的斜率不存在時，以為直徑的圓也過點，

故以為直徑的圓過定點.