Question

【題目】已知函數f（x）= sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ+ cos（ +φ）（0＜φ＜π），其圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為π，且過點（ ）． （I）求ω和φ的值；
（II）求函數y=f（2x），x∈[0， ]的值域．

Answer 1

【答案】解：f（x）= sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ+ cos（ +φ）（0＜φ＜π）， f（x）= sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ﹣ sinφ
f（x）= sin2ωxcosφ+sinφ（cos2ωx﹣ ）
f（x）= sin2ωxcosφ+ cos2ωxsinφ
f（x）= sin（2ωx+φ），
（I）∵圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為π，∴T=2π，
又∵T= ，∴ω= ，
圖象過點（ ），∴ = sin（±1× +φ），
解得： ，
∴f（x）= sin（x+ ）或f（x）= sin（﹣x+ ）；
（Ⅱ）∵y=f（2x），
又∵x∈[0， ]，
∴2x+ ∈[ ]，
結合正弦函數的圖象和性質：當 時，y取得最大值，即 ，
當 時，y取得最小值，即 ，
所以函數y=f（2x），x∈[0， ]的值域為 ．
【解析】（I）將函數進行化簡，結合三角函數的圖象和性質和已知坐標，即可求函數ω和φ的值；（II）求出函數y=f（2x）的解析式，根據x∈[0， ]求出函數y=f（2x）的范圍，在求其范圍內的最大值和最小值，即可得到值域． ∴y=f（2x）= sin（2x+ ），【注意：只需要一個解析式即可，其實兩個解析式化簡是一樣的】
【考點精析】本題主要考查了三角函數的最值的相關知識點，需要掌握函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，才能正確解答此題．