Question

如圖，橢圓上的點M與橢圓右焦點的連線與x軸垂直，且OM（O是坐標原點）與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率；
（2）F₁是橢圓的左焦點，C是橢圓上的任一點，證明：；
（3）過且與AB垂直的直線交橢圓于P、Q，若的面積是20 ，求此時橢圓的方程．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）

解析試題分析：（1）由橢圓方程可知。將代入橢圓方程可得，分析可知點在第一象限，所以。由兩直線平行斜率相等，可得，解得，所以，從而可得離心率。（2）由橢圓的定義知,且，在中用余弦定理可得，用基本不等式可證得，即，所以在中。（3）由（1）可得，即直線的斜率為，所以直線的斜率為，又因為過點可得直線的方程為，將此直線方程與橢圓方程聯立消去得關于的一元二次方程，可得根與系數的關系。可將分割長以為同底的兩個三角形，兩三角形的高的和為（還可用弦長公式求在用點到線的距離公式求高，然后再求面積）。根據三角形面積為可求的值，從而可得橢圓方程。
（1）易得    4分
（2）證：由橢圓定義得：

   8分
（3）解：設直線PQ的方程為 ．代入橢圓方程消去x得：
，整理得：
∴
因此a²＝50，b²＝25，所以橢圓方程為            12分
考點：1橢圓的簡單幾何性質；2余弦定理；3基本不等式；4直線與橢圓的位置關系問題。