Question

【題目】已知點是直線與橢圓的一個公共點，分別為該橢圓的左右焦點，設取得最小值時橢圓為．

（I）求橢圓的方程；

（II）已知是橢圓上關于軸對稱的兩點，是橢圓上異于的任意一點，直線分別與軸交于點,試判斷是否為定值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）為定值1，理由見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先聯立直線與橢圓方程，根據直線與橢圓有公共點利用判別式求得的取值范圍，然后根據橢圓的定義即可求得橢圓的方程；（Ⅱ）首先設，，，然后根據結合點在橢圓上得到關于的表達式，由此求出定值．

試題解析：（I）將代入橢圓方程，得，

∵直線與橢圓有公共點，∴，得，

∴．………………3分

又由橢圓定義知，故當時，取得最小值，

此時橢圓的方程為．………………4分

（II）設，，，且，

∵，∴，即，

∴．………………6分

同理可得．………………7分

∴，………………9分

又，，∴，，

∴，則為定值1．………………12分