Question

【題目】已知函數．

（1）求函數在點處的切線方程；

（2）求函數單調遞增區間；

（3）若存在，使得（是自然對數的底數），求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）求導得，又切線方程為；（2）由（1）得在上是增函數，又不等式的解集為故函數的單調增區間為；（3）將原命題轉化為當時，只要即可．再利用導數工具，結合分類討論思想和數形結合思想求得的取值范圍為．

試題解析：（1）因為函數，

所以，，

又因為，所以函數在點處的切線方程為．

（2）由（1），，

因為當，時，總有在上是增函數，

又，所以不等式的解集為，

故函數的單調增區間為．

（3）因為存在，使得成立，

而當時，，

所以只要即可．

又因為，，的變化情況如下表所示：

所以在上是減函數，在上是增函數，

所以當時，的最小值，

的最大值為和中的最大值．

因為，

令，因為，

所以在上是增函數．

而，故當時，，即；

當時，，即．

所以，當時，，即，

函數在上是減函數，解得．

當時，，即，

函數在上是減函數，解得．

綜上可知，所求的取值范圍為．