Question

【題目】甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或下滿6局時停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為p（p＞ ），且各局勝負(fù)相互獨立．已知第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為 ．
（1）求p的值；
（2）設(shè)ξ表示比賽停止時已比賽的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)甲連勝2局或乙連勝2局時，

第二局比賽結(jié)束時比賽停止，故 ，

解得

（2）解：依題意知ξ的所有可能取值為2，4，6，

設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為 ，

若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，

此時，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響，從而有 ，

則隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	2	4	6
P

故

【解析】（1）已知各局勝負(fù)相互獨立，第二局比賽結(jié)束時比賽停止，包含甲連勝2局或乙連勝2局，寫出甲連勝兩局的概率和乙連勝兩局的概率求和為 ．解出關(guān)于P的方程．（2）因為比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或下滿6局時停止，所以ξ的所有可能取值為2，4，6，而ξ=2已經(jīng)做出概率，只要求出ξ=4或ξ=6時的概率即可，最后求出期望．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解離散型隨機(jī)變量及其分布列(在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列)．