Question

【題目】梯形ABCD頂點B、C在以AD為直徑的圓上，AD=2米，

(1)如圖1，若電熱絲由AB，BC，CD這三部分組成，在AB，CD上每米可輻射1單位熱量，在BC上每米可輻射2單位熱量，請設計BC的長度，使得電熱絲輻射的總熱量最大，并求總熱量的最大值；

(2)如圖2，若電熱絲由弧和弦BC這三部分組成，在弧上每米可輻射1單位熱量，在弦BC上每米可輻射2單位熱量，請設計BC的長度，使得電熱絲輻射的總熱量最大．

Answer 1

【答案】（1）應設計BC長為米，電熱絲輻射的總熱量最大，最大值為單位．（2）應設計BC長為米，電熱絲輻射的總熱量最大．

【解析】試題分析：（1）取角為自變量: 設∠AOB＝θ，分別表示AB，BC，CD,根據題意得函數4cosθ+4 sin,利用二倍角余弦公式得關于sin二次函數 ,根據二次函數對稱軸與定義區間位置關系求最值（2）取角為自變量: 設∠AOB＝θ，利用弧長公式表示 ,得函數2θ＋4cosθ,利用導數求函數單調性,并確定最值

試題解析：解：(1)設∠AOB＝θ，θ∈(0，)則AB＝2sin，BC＝2cosθ，

總熱量單位f(θ) ＝4cosθ+4 sin＝－8(sin)2＋4 sin＋4，當sin＝，

此時BC＝2cosθ＝ (米)，總熱量最大 (單位) ．

答：應設計BC長為米，電熱絲輻射的總熱量最大，最大值為單位．

(2)總熱量單位g(θ)＝2θ＋4cosθ，θ∈(0，)

令g'(θ)＝0，即2－4sinθ＝0，θ＝，增區間（0，），減區間（，）

當θ＝，g(θ)最大，此時BC＝2cosθ＝ (米)

答：應設計BC長為米，電熱絲輻射的總熱量最大．