Question

【題目】在直三棱柱 中，底面 是邊長(zhǎng)為2的正三角形， 是棱 的中點(diǎn)，且 .

（1）試在棱 上確定一點(diǎn) ，使 平面 ；
（2）當(dāng)點(diǎn) 在棱 中點(diǎn)時(shí)，求直線 與平面 所成角的大小的正弦值。

Answer 1

【答案】
（1）解：

取AC邊中點(diǎn)為O

∵底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，∴

連接 ，∵ 是邊 的中點(diǎn)

∴ ，

所以可以建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，

為z軸如圖所示的坐標(biāo)系

則有 ， ， ， ，

， ， ，

設(shè) ，則 ， ，

若 ，則有 ，

∴ 可得

即當(dāng) 時(shí)，

（2）解：當(dāng)點(diǎn)M棱 中點(diǎn)時(shí)：

∴ ， ，設(shè)平面 的一個(gè)法向量

∴ 令 ，得 ，

∴

設(shè)直線 與平面 所成角為 ，則

所以直線 與平面 所成角 的正弦值為

【解析】(1)根據(jù)題意建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸， 為z軸如圖所示的坐標(biāo)系，求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)再設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)利用向量的數(shù)量積等于零求出t的值，進(jìn)而得出CM的值。(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求出各個(gè)向量的坐標(biāo)，設(shè)出平面A’BM的法向量，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求出法向量，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式求出余弦值再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式求出正弦值。