Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA=4,點D是AB的中點

（1）求證：ACBC；

（2）求證：AC//平面CDB；

（3）求二面角B-DC-B1的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析（3）

【解析】

試題分析：（1）由已知得AC⊥BC，且BC1在平面ABC內的射影為BC，由此能證明AC⊥BC1．（2）設CB1與C1B的交點為E，連結DE，由已知得DE∥AC1，由此能證明AC1∥平面CDB1．（3）以C為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-CD-B1正切值

試題解析：（1）因為，所以，即

（2）設,則,故

所以,即

因為平面,平面,所以AC//平面CDB

（3）可求得平面的一個法向量為，取平面CDB的一個法向量為

，則，由圖可知，二面角B-DC-B1的余弦值為