Question

已知函數f(x)＝ax²－(2a＋1)x＋2ln x，a∈R.
(1)若曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的切線互相平行，求a的值；
(2)求f(x)的單調區間．

Answer 1

（1）a＝（2）f(x)的單調遞增區間是和(2，＋∞)，單調遞減區間是

f′(x)＝ax－(2a＋1)＋(x>0)．
(1)由題意得f′(1)＝f′(3)，解得a＝.
(2)f′(x)＝ (x>0)．
①當a≤0時，x>0，ax－1<0.在區間(0,2)上，f′(x)>0；在區間(2，＋∞)上，f′(x)<0，故f(x)的單調遞增區間是(0,2)，單調遞減區間是(2，＋∞)．
②當0<a<時，>2.在區間(0,2)和上，f′(x)>0；在區間上，f′(x)<0.
故f(x)的單調遞增區間是(0,2)和，單調遞減區間是.
③當a＝時，f′(x)＝≥0，
故f(x)的單調遞增區間是(0，＋∞)．
④當a>時，0<<2，在區間和(2，＋∞)上，f′(x)>0；在區間上，f′(x)<0.
故f(x)的單調遞增區間是和(2，＋∞)，單調遞減區間是.