Question

設二次函數的圖像過原點，，的導函數為，且，
（1）求函數，的解析式；
（2）求的極小值；
（3）是否存在實常數和，使得和若存在，求出和的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1），；（2）的極小值為；（3）存在這樣的實常數和，且

試題分析：（1）由二次函數的圖像過原點可求，從而，由可解得，從而得；由可解得從而得；（2）由題可知，通過導函數可得的單調性，從而可得的極小值為；（3）根據題意可知，只須證明和的函數圖像在切線的兩側即可，故求出函數在公共點(1,1)的切線方程，只須驗證：，從而找到實數存在這樣的實常數和，且.
試題解析：（1）由已知得，
則，從而，∴
，。
由 得，解得
。        4分
（2），
求導數得.        8分
在（0,1）單調遞減，在（1,+）單調遞增，從而的極小值為.
（3）因  與有一個公共點(1,1),而函數在點(1,1)的切線方程為.
下面驗證都成立即可.
由 ，得，知恒成立.
設，即 ，
求導數得，
在(0,1)上單調遞增，在上單調遞減，所以 的最大值為，所以恒成立.
故存在這樣的實常數和，且.        13分