Question

已知奇函數 f (x) 在 (－¥,0)∪(0,+¥) 上有意義，且在 (0,+¥) 上是增函數，f (1) = 0，又函數 g(q) = sin ²q+ m cos q－2m，若集合M =" {m" | g(q) < 0}，集合 N =" {m" | f [g(q)] < 0}，求M∩N.

Answer 1

 .

試題分析：根據條件中是奇函數的這一條件可以求得使的的范圍，再根據與的表達式，可以得到與的交集即是使恒成立的所有的全體，通過參變分離可以將問題轉化為求使恒成立的的取值范圍，通過求函數最大值，進而可以求出的范圍.
依題意，，又在上是增函數，
∴在 上也是增函數，                  1分
∴ 由得或                 2分
∴ 或        3分
                                  4分
由得                     5分
即                                   6分
∴                7分
設，             9分
∵，                               10分
∴，                   11分
且                      12分
∴的最大值為            13分
∴               14分
另解：本題也可用下面解法：
1. 用單調性定義證明單調性
∵對任意 ，，，
∴，
即在上為減函數，
同理在上為增函數，得        5分
∴.
2. 二次函數最值討論
解：依題意，，又在上是增函數，
∴在 上也是增函數，  
∴由得或 
∴或，
                  4分
由得恒成立，
                            5分
設，   6分
∵，的對稱軸為         7分
1°當，即 時，在為減函數，∴    9分
2°當，即 時，
∴    11分
3°當，即時，在為增函數，
∴無解                  13分
綜上，               14分
3. 二次方程根的分布
解：依題意，，又在上是增函數，
∴在 上也是增函數，   
∴ 由得或 
∴ 或，，
由得恒成立，
，
設，
∵，的對稱軸為，，                  7分
1°當，即時，恒成立。       9分
2°當，即或時，
由在上恒成立
∴               13分
綜上，               14分
4.用均值不等式（下學段不等式內容）
∵，∴，
且，即時等號成立。
∴的最大值為.
∴.        5分