Question

【題目】為了了解某學段1000名學生的百米成績情況，隨機抽取了若干學生的百米成績，成績全部介于13秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）；…；第五組[17，18]．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如右圖所示，已知圖中從左到右的前3個組的頻率之比為3：8：19，且第二組的頻數為8．
（1）將頻率當作概率，請估計該學段學生中百米成績在[16，17）內的人數以及所有抽取學生的百米成績的中位數（精確到0.01秒）；
（2）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：設前3組的頻率依次為3x，8x，19x，則由題意可得：3x+8+19x=1﹣0.32﹣0.08=0.6，

由此得：x=0.02，

∴第二組的頻率為0.16，

∵第二組的頻數為8，

∴抽取的學生總人數為 人，

由此可估計學生中百米成績在[16，17）內的人數=0.32×50=16人，

設所求中位數為m，由前可知第一組、第二組、第三組的頻率分別為0.06、016、0.38

則0.06+0.16+0.38（m﹣15）=0.5，

解得m=15.74

所以估計學生中百米成績在[16，17）內的人數為16人；所有抽取學生的百米成績的中位數為15.74秒

（2）解：記“兩個成績的差的絕對值大于1秒”為事件A．

由（1）可知從第一組抽取的人數=0.02×3×50=3人，不妨記為a，b．c

從第五組抽取的人數=0.08×50=4人，不妨記為1，2，3，4，

則從第一、五組中隨機取出兩個成績有：ab，ac．a1，a2，a3，a4，bc，b1，b2，b3，b3，c1，c2，c3，

c4，12，13，14，23，24，34這21種可能；

其中兩個成績的差的絕對值大于1秒的來自不同的組，共有12種．

∴

∴兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率為

【解析】（1）根據頻率分步直方圖中小正方形的面積是這組數據的頻率，用長乘以寬得到面積，即為頻率．根據所有的頻率之和是1，列出關于x的方程，解出x的值，繼而求出相應小組的人數，再設中位數為m，列出關于m的方程解得即可；（2）本題是一個古典概型，試驗發生所包含的事件是從第一、五組中隨機取出兩個成績，滿足條件的事件是成績的差的絕對值大于1秒，列舉出事件數，根據古典概型概率公式得到結果
【考點精析】掌握頻率分布直方圖是解答本題的根本，需要知道頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．