Question

設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點到準線的距離是2．
（Ⅰ）求此拋物線方程；
（Ⅱ）設點A，B在此拋物線上，點F為此拋物線的焦點，且

FB

=λ

AF

，若λ∈[4，9]，求直線AB在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據焦點到準線的距離求得p，則拋物線方程可得．
（Ⅱ）設出直線AB的方程與拋物線方程聯立消去y，設A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）根據韋達定理可表示出x₁+x₂和x₁•x₂，根據

FB

=λ

AF

，進而求得x₂=법x₁，進而根據x₁•x₂=1，消去x₂，求得x₁和x₂，代入x₁+x₂中，求得λ和k的關系式，根據y=

1

λ

+λ在[4，9]上遞增，進而求得y的范圍進而求得k的范圍，進而求得直線在x軸上的截距的范圍可得．

解答：解：（Ⅰ）因為拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點到準線的距離p=2
所以此拋物線方程為y²=4x
（Ⅱ）由題意，直線AB的斜率存在．F（1，0），設直線AB的方程為y=k（x-1）
由

y=k(x-1) y2=4x

消y，整理得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）則x1+x2=2+

4

k2

，x₁•x₂=1
因為

FB

=λ

AF

，所以（x₂-1，y₂）=λ（1-x₁，-y₁），于是

x2-1=λ-λx1 y2=-λy1

由y₂=-λy₁，得y₂²=λ²y₁²?4x₂=법4x₁?x₂=법x₁，
又x₁•x₂=1，
消x₂得법x₁²=1，
因為x₁＞0，所以x1=

1

λ

，從而，x₂=λ．
代入x1+x2=2+

4

k2

得，

1

λ

+λ=2+

4

k2

，
令y=

1

λ

+λ=2+

4

k2

，
因為y=

1

λ

+λ在[4，9]上遞增，
所以4+

1

4

≤y=

1

λ

+λ≤9+

1

9

，即4+

1

4

≤2+

4

k2

≤9+

1

9

?

9

4

≤

4

k2

≤

64

9

?

9

16

≤k2≤

16

9

，
于是，-

4

3

≤-k≤-

3

4

，或

3

4

≤-k≤

4

3

所以直線AB在y軸上截距的取值范圍為：[-

4

3

，-

3

4

]∪[

3

4

，

4

3

]．

點評：本題主要考查了拋物線的標準方程，直線與拋物線的關系，向量的計算等．考查了學生運用所學知識靈活解決問題的能力．