Question

（2012•長寧區二模）設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過F且垂直于x軸的直線與拋物線交于P₁，P₂兩點，已知|P₁P₂|=8．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點M（3，0）作方向向量為

d

=(1，a)的直線與曲線C相交于A，B兩點，求△FAB的面積S（a）并求其值域；
（3）設m＞0，過點M（m，0）作直線與曲線C相交于A，B兩點，問是否存在實數m使∠AFB為鈍角？若存在，請求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據過F且垂直于x軸的直線與拋物線交于P₁，P₂兩點，|P₁P₂|=8，可得p的值，從而可得拋物線C的方程；
（2）直線方程為y=a（x-3）代入y²=8x，利用韋達定理，可表示出△FAB的面積S（a），從而可求其值域；
（3）設直線方程為py=x-m代入y²=8x，利用∠AFB為鈍角，可得

FA

•

FB

＜0，進而可得m²-12m+4＜16p²，該不等式對任意實數p恒成立，由此可得m的取值范圍．

解答：解：（1）由條件|P₁P₂|=8，可得2p=8，∴拋物線C的方程為y²=8x；…．（4分）
（2）直線方程為y=a（x-3）代入y²=8x，∴ay²-8y-24a=0，…．（6分）
△=64+96a²＞0恒成立．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=

8

a

，y1y2=-24，…．（7分）
S△=

1

2

|MF|•|y1-y2|=

2 4+6a2

|a|

=2

6+ 4 a2

，…．（9分）
∴S△∈(2

6

，+∞)．…．（10分）
（3）設所作直線的方向向量為

d

=(p，1)，則直線方程為py=x-m代入y²=8x得y²-8py-8m=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁+y₂=8p，y₁y₂=-8m．…．（12分）
又F（2，0），則

FA =

(x1-2，y1)，

FB

=(x2-2，y2)，
∵∠AFB為鈍角，∴

FA

•

FB

＜0，∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0，…．（14分）
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4-8m＜0，∴

(y1y2)2

64

-2[p(y1+y2)+2m]+4-8m＜0
∴m²-12m+4＜16p²，該不等式對任意實數p恒成立，…．（16分）
因此m²-12m+4＜0，∴6-4

2

＜m＜6+4

2

．…．（17分）
又m≠2，因此，當m∈(6-4

2

，2)∪(2，6+4

2

)時滿足條件．…．（18分）

點評：本題考查拋物線的標準方程，考查三角形面積的計算，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，正確運用韋達定理是關鍵．