Question

設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，A為C上一點，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于B，D兩點，若△BDF為等邊三角形，△ABD的面積為6，則p的值為

3

，圓F的方程為

(x-

3

2

)2+y2=12

．

Answer 1

分析：由題意可得 p=

3

2

BD，半徑為AF=BD=BF，根據△ABD的面積為6=

1

2

•

4p2

3

 求得 p的值，由此可得焦點F（

3

2

，0），
半徑AF=BD=2

3

，由此求得圓的方程．

解答：解：∵△BDF為等邊三角形，∴p=

3

2

BD，∴BD=

2p

3

．
由拋物線的定義可得，點A到準線l的距離h等于圓的半徑AF=BF=BD．
∵△ABD的面積為6=

1

2

•BD•h=

1

2

•

4p2

3

，∴p=3．
故焦點F（

3

2

，0），半徑AF=BD=2

3

，故圓的方程為 (x-

3

2

)2+y2=12，
故答案為 3，(x-

3

2

)2+y2=12．

點評：本題主要考查拋物線的定義、圓的標準方程以及三角形的面積，屬于中檔題．