Question

【題目】為了豐富改善居民生活，市招商局引進外商到開發區一次性投資72萬元建起了一座蔬菜加工廠.以后每年還需要繼續投資：第一年需要要各種經費為12萬元，從第二年開始每年所需經費均比上一年增加4萬元，該加工廠每年銷售總收入為50萬元.

（1）若扣除投資及各種經費，該加工廠從第幾年開始純利潤為正？

（2）若干年后，外商為開發新項目，對加工廠有兩種處理方案：

①若年平均純利潤達到最大值時，便以48萬元價格出售該廠；

②若純利潤總和達到最大值時，便以16萬元的價格出售該廠.

問：哪一種方案比較合算？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）從第三年開始獲利；（2）見解析

【解析】分析：（1）利潤總額即年中的收入減去年所需各種經費，解出結果進行判斷得出何年開始贏利；（2）利用基本不等式算出第一種方案總盈利，利用二次函數性質算出第二種方案的總盈利，得到每一種方案的總盈利，比較大小選擇方案．

詳解：由題設知，每年的經費是以12首項，4為公差的等差數列。設純利潤與年數的關系為，則

（1）獲純利潤為正，即，即，即.

又，所以，即從第三年開始獲利；

（2）①年平均純利潤為，

又，當且僅當時取等號，此時，

這樣以第一種方案共獲利萬元；

②若純利潤總和，所以時，純利潤總和達到最大值，此時共獲利萬元；

由上可知，兩種方案獲利相同，但是第一種方案需要時間比第二種方案需要時間少得多，故選擇第一種方案較好.