Question

已知函數f(x)＝(x²＋ax－2a²＋3a)e^x(x∈R)，其中a∈R.
(1)當a＝0時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率；
(2)當a≠時，求函數y＝f(x)的單調區間與極值．

Answer 1

（1）3e.   （2）見解析

解：(1)當a＝0時，f(x)＝x²e^x，f′(x)＝(x²＋2x)e^x，
故f′(1)＝3e.
所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為3e.
(2)f′(x)＝[x²＋(a＋2)x－2a²＋4a]e^x.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2，
由a≠知，－2a≠a－2.
以下分兩種情況討論：
①若a>，則－2a<a－2，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，－2a)	－2a	(－2a，a－2)	a－2	(a－2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		極大值		極小值

 
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函數，在(－2a，a－2)上是減函數．
函數f(x)在x＝－2a處取得極大值為f(－2a)，且f(－2a)＝3ae^－2a.
函數f(x)在x＝a－2處取得極小值為f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)e^a－2.
②若a<，則－2a>a－2，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，a－2)	a－2	(a－2，－2a)	－2a	(－2a，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		極大值		極小值

 
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函數，在(a－2，－2a)上是減函數．
函數f(x)在x＝a－2處取得極大值f(a－2)，
且f(a－2)＝(4－3a)e^a－2.
函數f(x)在x＝－2a處取得極小值f(－2a)，
且f(－2a)＝3ae^－2a.