Question

已知函數f(x)＝ax²＋1，g(x)＝x³＋bx，其中a>0，b>0.
(1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x) 在它們的交點P(2，c)處有相同的切線(P為切點)，求實數a，b的值；
(2)令h (x)＝f(x)＋g(x)，若函數h(x)的單調減區間為.
①求函數h(x)在區間(－∞，－1]上的最大值M(a)；
②若|h(x)|≤3在x∈[－2,0]上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）a＝，b＝5
（2）①M(a)＝
②

解：(1)由P(2，c)為公共切點，
f(x)＝ax²＋1，g(x)＝x³＋bx(a>0)，
得f′(x)＝2ax，k₁＝4a，
g′(x)＝3x²＋b，k₂＝12＋b.
又f(2)＝4a＋1，g(2)＝8＋2b，
所以，解得a＝，b＝5.
(2)①h(x)＝f(x)＋g(x)
＝x³＋ax²＋bx＋1，
則h′(x)＝3x²＋2ax＋b.
因為函數f(x)＋g(x)的單調減區間為，
所以x∈時，有3x²＋2ax＋b≤0恒成立．
此時x＝－是方程3x²＋2ax＋b＝0的一個根，
所以3²＋2a＋b＝0，
得a²＝4b，
所以h(x)＝f(x)＋g(x)
＝x³＋ax²＋a²x＋1.
又函數h(x)在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．
若－1≤－，即a≤2時，
最大值為h(－1)＝a－；
若－<－1<－時，即2<a<6時，
最大值為h＝1；
若－1≥－時，即a≥6時，
最大值為h＝1，
綜上所述，M(a)＝
②由①可知h(x)在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．
所以h為極大值，h＝1，
h為極小值，h＝－＋1，
因為|h(x)|≤3在x∈[－2,0]上恒成立，
又h(0)＝1，所以
即
解得
故實數a的取值范圍是.