Question

已知的頂點，邊上的中線所在的直線方程為，邊上的高所在直線的方程為。
（1）求的頂點、的坐標；
（2）若圓經過不同的三點、、，且斜率為的直線與圓相切于點，求圓的方程；
（3）問圓是否存在斜率為的直線，使被圓截得的弦為，以為直徑的圓經過原點．若存在，寫出直線的方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

(1)  ,  ；(2)  ；
(3) 或。

試題分析：（1）邊上的高所在直線的方程為，所以，，
又，所以         2分
設，則的中點，代入方程，
解得，所以.     4分
（2）由，可得，圓的弦的中垂線方程為，
注意到也是圓的弦，所以，圓心在直線上，
設圓心坐標為，
因為圓心在直線上，所以 ①，
又因為斜率為的直線與圓相切于點，所以，
即，整理得 ②，
由①②解得，，
所以，，半徑，
所以所求圓方程為。        8分
（3）假設存在直線，不妨設所求直線方程為，
聯立方程   得：        9分
又  得     10分
， ，      11分
依題意得         12分
故解得：      13分
經驗證，滿足題意。故所求直線方程為：或        14分
點評：此題主要考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識較多，綜合性較強。知識點的靈活應用是解題的關鍵，是一道中檔題。