Question

【題目】已知函數．

（1）討論函數的單調性；

（2）若對于任意的，當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在遞增，在遞減，在遞增（2）

【解析】

（1）先求函數的定義域以及導數，然后根據導數的零點與的大小關系確定分類討論的標準，再結合的符號討論函數的單調性.

（2）結合函數的單調性，求出，則問題轉化為對于任意恒成立問題，再求出，的最大值，即可求出的范圍.

解：（1）的定義域是，

，

①當時，令，解得：，或，

令，解得：，

故在遞增，在遞減，在遞增，

②當時，，在遞增，

③當時，令，解得：，或，

令，解得：；

故在遞增，在遞減，在遞增；

（2）由（1）知時，在遞增，

故在遞增，

故，

要使不等式在恒成立，

只需，

記，則，

故在遞增，的最大值是，

故，

故的范圍是．