Question

【題目】已知橢圓： 的右焦點為，不垂直軸且不過點的直線與橢圓相交于兩點．

（1）若直線經過點，則直線、的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；

（2）如果，原點到直線的距離為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）d的取值范圍為.

【解析】試題分析：（1）設直線，代入中得： ，由斜率公式表示出直線的斜率，結合韋達定理計算斜率之和，即可作出判斷；（2）設直線，代入中得： ，根據韋達定理，表示出直線的斜率，令斜率之積為，得出的關系，根據判別式得出的范圍，代入點到直線距離公式得出與的關系，利用基本不等式得出的范圍.

試題解析：（1）設直線，代入中得： .

設，

又F(1，0)，

又

，即直線FA、FB的斜率之和是定值0.

（2）設直線，代入中得： .

設，

若,則

即，

將代入并化簡得：

，

代入判別式得恒成立，

，

故d的取值范圍為.