Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x|（x﹣a），a為實(shí)數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，2]為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a（a＜0），使得f（x）在閉區(qū)間 上的最大值為2，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)槠婧瘮?shù)f（x）定義域?yàn)镽，

所以f（﹣x）=﹣f（x）對任意x∈R恒成立，

即|﹣x|（﹣x﹣a）=﹣|x|（x﹣a），即|x|（﹣x﹣a+x﹣a）=0，

即2a|x|=0對任意x∈R恒成立，

所以a=0

（2）解：因?yàn)閤∈[0，2]，所以f（x）=x（x﹣a），

顯然二次函數(shù)的對稱軸為 ，由于函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，

所以 ，

即a≤0（若分a＜0，a=0，a＞0三種情況討論他可）

（3）解：∵a＜0， ，

∴f（﹣1）=﹣1﹣a≤2，∴﹣a≤3（先用特殊值約束范圍）

∴ ，f（x）在（0，+∞）上遞增，

∴f（x）必在區(qū)間[﹣1，0]上取最大值2．

當(dāng) ，即a＜﹣2時(shí)，則f（﹣1）=2，a=﹣3，成立

當(dāng) ，即0＞a≥﹣2時(shí)， ，則 （舍）

綜上，a=﹣3

【解析】（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)定義，列出關(guān)系式，即可求出a的值；（2）推出二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式求解即可．（3）化簡函數(shù)為分段函數(shù)，通過討論a的范圍，列出關(guān)系式求解即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義和奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性才能正確解答此題．