Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個零點，求滿足條件的最小正整數(shù)的值.

Answer 1

【答案】(1) 當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)3.

【解析】

（1）先求導，再對進行分類討論，利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得出；

（2）由（1）可知，若函數(shù)有兩個零點，則，且.轉(zhuǎn)化為求滿足的最小正整數(shù)的值，利用單調(diào)性判斷其零點所在的最小區(qū)間即可求得.

（1）函數(shù)的定義域為.

.

,

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，由，得；由，得.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

綜上所述，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由（1）可知，若函數(shù)有兩個零點，則，且.

即，

即，

.

令，易知在上是增函數(shù)，且，

又，

即.

所以存在，使，

當時，；當時，.

所以滿足的最小正整數(shù)的值為3.

又時，，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

時，函數(shù)有兩個零點.

綜上，滿足條件的最小正整數(shù)的值為3.