Question

【題目】梯形中，，，，，過點作，交于（如圖1）.現沿將折起，使得，得四棱錐（如圖2）.

（1）求證：平面平面；

（2）若為的中點，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）在中，求解三角形可得，又，得到四邊形為平行四邊形，進一步得到平行四邊形為菱形，則，再由，得平面，從而得到平面平面；

（2）由平面，得到，再由，得平面，設，可得，分別為，的中點，則，得到平面，以為原點建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．

解：（1）在中，∵，，∴，又，∴，

又，∴四邊形為平行四邊形.

∵，∴平行四邊形為菱形，∴，

又，平面，，

∴平面.

又∵平面，∴.平面平面.

（2）∵平面，平面，∴，

又，平面，，∴平面，

設，∵，分別為，的中點，∴，∴平面，

由（Ⅰ）得，以為原點，建立如圖空間直角坐標系.

不妨設，可知，，，，，

設平面的一個法向量為，則，∴，

令，則，，∴，

易得平面的一個法向量為，

設二面角的平面角為，則，

即二面角的余弦值為.