Question

【題目】已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各個棱長都相等，E為BC的中點，動點F在CC1上，且不與點C重合
（1）當CC1=4CF時，求證：EF⊥A1C
（2）設二面角C﹣AF﹣E的大小為α，求tanα的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：過E作EN⊥AC于N，連接EF，NF，AC1，

由直棱柱的性質可知，底面ABC⊥側面A1C，

∴EN⊥側面A1C，NF為EF在側面A1C內的射影，

設正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各個棱長為4，

∵CC1=4CF，∴在直角三角形CNF中，CN=1，

則由 = = ，得NF∥AC1，

又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C，

由三垂線定理可知EF⊥A1C

（2）解：連接AF，過N作NM⊥AF于M，連接ME

由（I）可知EN⊥側面A1C，根據三垂線定理得EM⊥AF

∴∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=α，

設∠FAC=θ，則0°＜θ≤45°，

在直角三角形CNE中，NE= ，

在直角三角形AMN中，MN=3sinθ

故tanα= ，又0°＜θ≤45°，∴0＜sinθ≤

故當θ=45°時，tanα達到最小值，

∴tanα的最小值為anα= ．

【解析】（1）過E作EN⊥AC于N，連接EF，NF，AC1 ， 則EN⊥側面A1C，NF為EF在側面A1C內的射影，設正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各個棱長為4，則CN=1，NF∥AC1 ， 推導出C1⊥A1C，NF⊥A1C，由此能證明EF⊥A1C．（2）連接AF，過N作NM⊥AF于M，連接ME，則EN⊥側面A1C，根據三垂線定理得EM⊥AF，∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角由此能示出tanα的最小值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．