Question

【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出．某市政府為了鼓勵居民節約用水，計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x（噸），一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖． （Ⅰ）求直方圖中a的值；
（Ⅱ）若該市有110萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數，請說明理由；
（Ⅲ）若該市政府希望使80%的居民每月的用水量不超過標準x（噸），估計x的值（精確到0.01），并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由概率統計相關知識，各組頻率和為1， 即0.5×（0.08+0.16+0.3+a+0.52+0.3+0.12+0.08+0.04）=1，
解得a=0.4；
（Ⅱ）由圖知，不低于3噸的人數所占比例為
0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，
∴全市月均用水量不低于3噸的人數為
110×0.12=13.2（萬）；
（Ⅲ）由圖可知，月均用水量小于2.5噸的居民人數所占比例為
0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73，
即73%的居民月均用水量小于2.5噸；
同理，88%的居民月均用水量小于3噸，故2.5＜x＜3；
假設月均用水量平均分布，則
（噸）
【解析】（Ⅰ）由概率統計相關知識，各組頻率和為1，列出方程求出a的值；（Ⅱ）由圖計算不低于3噸的頻率和頻數即可；（Ⅲ）由圖計算月均用水量小于2.5噸的頻率和月均用水量小于3噸的頻率， 假設月均用水量平均分布，由此求出x的值．
【考點精析】本題主要考查了頻率分布直方圖的相關知識點，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息才能正確解答此題．