Question

【題目】函數的圖象的對稱軸之間的最短距離為，且經過點.

（1）寫出函數的解析式；

（2）若對任意的，恒成立，求實數的取值范圍；

（3）求實數和正整數，使得在上恰有2017個零點.

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3）或時，；時，

【解析】

（1）由對稱軸及圖像上一點，待定系數可得函數解析式；

（2）求值域，換元后，轉化為二次函數恒成立問題求參數；

（3）將零點問題轉化為交點問題，先考慮一個周期的情況，再進行延拓.

（1）的圖象的對稱軸之間的最短距離為，

故其周期為，解得；

又經過點，故，

解得

又因為，故可得，

故.

（2）若對任意的，，

故，

因為恒成立，

令，

恒成立，只需：

，且，

解得.

（3）∵在上恰有2017個零點，

故的圖象和直線在上恰有2017個交點.

先考慮在在上的交點情況，

不妨作出在上的圖像如下：

①當，或時，

的圖象和直線在上無交點.

②當，或時，

的圖象和直線在僅有一個交點，

此時，的圖象和直線在上恰有2017個交點，

則.

③當，或時，

的圖象和直線在上恰有2個交點，

的圖象和直線在上有偶數個交點，不會有2017個交點.

④當時，

的圖象和直線在上恰有3個交點，

此時，，才能使的圖象和直線在上有2017個交點.

綜上可得，當，或時，；

當時，此時，.