Question

【題目】定義在R上函數，若函數關于點對稱，且則關于x的方程()有n個不同的實數解，則n的所有可能的值為( )

A.2B.4

C.2或4D.2或4或6

Answer 1

【答案】B

【解析】

由函數關于點對稱，得是奇函數，由此可作出函數的圖象，利用圖象可分析方程的根的個數，再用換元法（設）把原方程轉化為一元二次方程，通過這個二次方程根的研究得出原方程解的個數．

∵函數關于點對稱，∴是奇函數，時，在上遞減，在上遞增，

作出函數的圖象，如圖，由圖可知的解的個數是1，2，3.

或時，有一個解，時，有兩個解，時，有三個解，

方程中設，則方程化為，其判別式為恒成立，方程必有兩不等實根，，，，兩根一正一負，不妨設，

若，則，，和都有兩個根，原方程有4個根；

若，則，，∴，，有三個根，有一個根，原方程共有4個根；

若，則，，∴，，有一個根，有三個根，原方程共有4個根．

綜上原方程有4個根．

故選：B.