Question

【題目】為調查高中生的數學成績與學生自主學習時間之間的相關關系，長郡中學數學教師對新入學的45名學生進行了跟蹤調查，其中每周自主做數學題的時間不少于15小時的有19人，余下的人中，在高三模擬考試中數學平均成績不足120分的占，統計成績后，得到如下的列聯表：

	分數大于等于120分	分數不足120分	合計
周做題時間不少于15小時		4	19
周做題時間不足15小時
合計			45

（1）請完成上面的列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“高中生的數學成績與學生自主學習時間有關”；

（2）（ⅰ）按照分層抽樣的方法，在上述樣本中，從分數大于等于120分和分數不足120分兩組學生中抽取9名學生，設抽到的不足120分且周做題時間不足15小時的人數是，求的分布列（概率用組合數算式表示）；

（ⅱ）若將頻率視為概率，從全校大于等于120分的學生中隨機抽取20人，求這些人中周做題時間不少于15小時的人數的期望和方差.

附：

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）（�。┮娊馕�;（ⅱ）， .

【解析】【試題分析】（１）先算出卡方系數，再與參數值進行比對，從而做出判斷；（2）先運用分層抽樣的方法求出隨機變量的概率分布，再借助概率分布的數學期望公式進行求解：

（1）

	分數大于等于120分	分數不足120分	合計
周做題時間不少于15小時	15
周做題時間不足15小時	10	16	26
合計	25	20

∵

∴能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“高中生的數學成績與學生自主學習時間有關”

（2）（ⅰ）由分層抽樣知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人

的可能取值為.

， ， ，

， .

（ⅱ）設從全校大于等于120分的學生中隨機抽取20人，這些人中周做題時間不少于15小時的人數為隨機變量，由題意可知

故， .