Question

【題目】已知圓C: ，直線l過點.

（1）若直線l與圓心C的距離為1，求直線l的方程；

（2）若直線l與圓C交于M，N兩點，且，求以MN為直徑的圓的方程；

（3）設直線與圓C交于A，B兩點，是否存在實數a，使得直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實數a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或.（2）（3）不存在，見解析

【解析】

(1)分類討論，斜率存在時根據圓心到直線的距離為1列出方程即可求得斜率，斜率不存在時驗證是否滿足條件即可；(2)由弦心距推出P為弦MN的中點即可求得圓的方程；(3) 由直線與圓相交推出弦心距小于圓的半徑求出a的范圍，假設存在a使得l垂直平分弦AB，則，即可求出a.

解：（1）當直線l的斜率存在時，設斜率為k，則l的方程為．

又圓C的圓心為，半徑，由，解得

所以直線l的方程為，即.

當l的斜率不存在時，l的方程為，經驗證也滿足條件.

所以直線l的方程為或.

（2）由于，而弦心距，

所以，所以P為弦MN的中點，

故以MN為直徑的圓Q的方程為.

（3）直線與圓C交于A，B兩點，

則弦心距小于圓的半徑，即，化簡得.

設符合條件的實數a存在，由于l垂直平分弦AB，故直線l過圓心．

所以l的斜率，而，所以.

由于，故不存在實數a，使得過點的直線l垂直平分弦AB.