Question

【題目】已知圓M: ，直線l：，下面五個命題，其中正確的是（ ）

A.對任意實數k與θ，直線l和圓M有公共點；

B.對任意實數k與θ，直線l與圓M都相離；

C.存在實數k與θ，直線l和圓M相離；

D.對任意實數k，必存在實數θ，使得直線l與圓M相切：

E.對任意實數θ，必存在實數k，使得直線l與圓M相切；

Answer 1

【答案】AD

【解析】

圓M的圓心為點，半徑為r=1，直線過定點，由點A在圓上，數形結合可判斷直線與圓的位置關系；由題意知直線AM與直線l垂直，分與兩種情況討論對任意實數k，是否存在實數θ，使得直線l與圓M相切；令，分類討論可得圓心到直線l的距離恒成立，推出直線l與圓M必相交，此時不存在實數k，使得直線l與圓M相切.

AB選項，由題意知圓M的圓心為點，半徑為r=1，

直線l的方程可寫作，過定點，因為點A在圓上，

所以直線l與圓M相切或相交，任意實數k與θ，直線l和圓M有公共點，A正確B錯誤；

C選項，由以上分析知不存在實數k與θ，直線l和圓M相離，C錯誤；

D選項，當直線l與圓M相切時，點A恰好為直線l與圓M的切點，故直線AM與直線l垂直，

①當時，直線AM與x軸垂直，則，

即，解得，存在，使得直線l與圓M相切；

②當時，若直線AM與直線l垂直，則，

直線AM的斜率為，

所以，即，

此時對任意的，均存在實數θ，使得，則直線AM與直線l垂直.

綜上所述，對任意實數k，必存在實數θ，使得直線l與圓M相切.D正確.

E選項，點到直線l的距離為，

令，當時，d=0，；當時，，

即此時恒成立，直線l與圓M必相交，

故此時不存在實數k，使得直線l與圓M相切.E錯誤.

故選：AD