Question

已知橢圓C的中心在坐標原點O，左頂點A（-2，0），離心率e=

1

2

，F為右焦點，過焦點F的直線交橢圓C于P、Q兩點（不同于點A）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當△APQ的面積S=

18 2

7

時，求直線PQ的方程；
（Ⅲ）求

OP

•

FP

的范圍．

Answer 1

（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
∵橢圓C的中心在坐標原點O，左頂點A（-2，0），離心率e=

1

2

，
∴a=2，e=

c

a

=

1

2

∴c=1，b²=a²-c²=3，（2分）
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）解法一：橢圓右焦點F（1，0）．設直線PQ方程為x=my+1（m∈R）．（5分）
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0．①（6分）
顯然，方程①的△＞0．設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則有y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

．（8分）
由△APQ的面積S=

18 2

7

=

1

2

|AF|•|y1-y2|
=

3

2

36m2 (3m2+4)2 + 36 3m2+4

，解得：m=±1．
∴直線PQ方程為x=±y+1，
即x+y-1=0或x-y-1=0．（10分）
解法二：|PQ|=

(m2+1)(y1-y2)2

=

(m2+1)[ 36m2 (3m2+4)2 + 36 3m2+4 ]

=12

(m2+1)2 (3m2+4)2

=12×

m2+1

3m2+4

．（6分）
點A到直線PQ的距離d=

|-2-1|

1+m2

=

3

1+m2

，（8分）
由△APQ的面積S=

18 2

7

=

1

2

|PQ|•d=•12•

m2+1

3m2+4

•

3

m2+1

，解得m=±1．
∴直線PQ方程為x=±y+1，即x+y-1=0或x-y-1=0．（10分）
（Ⅲ）設P的坐標（（x₀，y₀），
則

x 20

4

+

y 20

3

=1，∴

y

20

=3-

3

4

x

20

，
∴

OP

•

FP

=（x₀，y₀）•（x₀-1，y₀）=x02-x0+y02
=

1

4

x

20

-x0+3=

1

4

(x0-2)2+2，（12分）
∵-2＜x₀＜2，∴

OP

•

FP

的范圍為（2，6）．（14分）
（注：以上解答題其他解法相應給分）