Question

【題目】在平面直角坐標系中，以坐標原點為中心，以坐標軸為對稱軸的幫圓C經過點M（2，1），N.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）經過點M作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓C相交于異于M點的A，B兩點，當△AMB面積取得最大值時，求直線AB的方程.

Answer 1

【答案】（1）

（2）或

【解析】

（1）設橢圓C的方程為（，，）.

根據橢圓過兩點，代入得到方程組，解得.

（2）由直線AM，BM，AB的斜率存在，故.設它們的斜率分別為，，k.

設，，直線AB的方程為.聯立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，由.即. 即可解得，或.分別代入檢驗，再用弦長公式及點到直線的距離公式，表示出三角形的面積，利用基本不等式求最值.

解：（1）設橢圓C的方程為（，，）.

∵點和N在橢圓C上，

∴.解得.

∴橢圓C的標準方程為.

（2）∵點A，B為橢圓上異于M的兩點，且直線AM，BM的傾斜角互補，

∴直線AM，BM，AB的斜率存在.設它們的斜率分別為，，k.

設，，直線AB的方程為.

∴.

∴.

由，消去y，得.

由，得.

∴，.

∴.

∴.

∴.

∴，或.

∵點A，B為橢圓上異于M的兩點，

∴當時，直線AB的方程為，不合題意，舍去.

∴直線AB的斜率為.

∵，點M到直線AB的距離為，

∴的面積為.

當且僅當時，的面積取得最大值，此時.

∵，滿足.

∴直線AB的方程為或.