在如圖的直三棱柱
中，
，點
是
的中點.
(1)求證：
∥平面
；
(2)求異面直線與
所成的角的余弦值；
(3)求直線
與平面
所成角的正弦值；
（1）建立空間直角坐標系，利用向量證明
，進而用線面平行的判定定理即可證明；
（2）
（3）
【解析】
試題分析：因為已知直三棱柱的底面三邊分別是3、4、5，
所以
兩兩互相垂直，
如圖以
為坐標原點,直線
分別為
軸、
軸、
軸
建立空間直角標系， ……2分
則，
，
.
（1）設(shè)
與
的交點為
，連接
,則
則
∴∥
， ∵
內(nèi)，
平面
∴∥平面 ； ……4分
（2）∵
∴
，
. ……6分
∴
；
∴所求角的余弦值為 . ……8分
（3）設(shè)平面
的一個法向量
，則有：
，解得，
. ……10分
設(shè)直線
與平面所成角為
. 則
，
所以直線與平面所成角的正弦值為. ……12分
（其它方法仿此酌情給分）
考點：本小題主要考查線面平行，異面直線所成的角和線面角.
點評：解決立體幾何問題，可以用判定定理和性質(zhì)定理，也可以建立空間直角坐標系用向量方法證明，但是用向量方法時，也要依據(jù)相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理，定理中需要的條件要一一列舉出來，一個也不能少.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
（08年濰坊市六模） （12分） 如圖，直三棱柱
中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，
AC＝2a，
＝3a，D為
的中點，E為
的中點．
（1）求直線BE與
所成的角；
（2）在線段
上是否存在點F，使CF⊥平面
，若存在，求出
；若不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆江蘇省江陰市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
如圖，直三棱柱
中，
、
分別是棱
、
的中點，點
在棱
上，已知
，
，
．
（1）求證：
平面
；
（2）設(shè)點
在棱
上，當
為何值時，平面
平面？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年河北省唐山市高三第二次模擬考試理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
如圖，直三棱柱
中，AB=BC，
，Q是AC上的點，AB1//平面BC1Q.
（Ⅰ）確定點Q在AC上的位置;
（Ⅱ）若QC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為
，求二面角Q－BC1—C的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆江蘇省高二下期中理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
如圖，直三棱柱
中，
，
. 
分別為棱
的中點.
（1）求二面角
的平面角的余弦值；
（2）在線段
上是否存在一點
，使得
平
？
若存在，確定其位置；若不存在，說明理由.
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