Question

【題目】如圖，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，點D是BC的中點．

（1）求證：A1B∥平面ADC1；
（2）求平面ADC1與ABA1所成二面角的平面角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接A1C，交C1A于E，則E為A1C的中點，又點D是BC的中點，

所以DE∥A1B，

又DE平面ADC1，A1B平面ADC1，故A1B∥平面ADC1．

（2）解：如圖建立空間直角坐標系A﹣xyz，

則A（0，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），C1（0，2，4），

=（0，2，0）是平面ABA1的一個法向量，

設平面ADC1的法向量 =（x，y，z）．

∵ =（1，1，0）， =（0，2，4），

∴ ．

取z=1，得y=﹣2，x=2

∴平面ADC1的法向量 =（2，﹣2，1），

平面ADC1與ABA1所成的二面角為θ，

∴|cosθ|=| |= ．

從而sinθ= ，即平面ADC1與ABA1所成二面角的正弦值為

【解析】（1）連接A1C，交C1A于E，證明：DE∥A1B，即可證明A1B∥平面ADC1；（2）建立空間直角坐標系，求出平面ABA1的一個法向量、平面ADC1的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面ADC1與ABA1所成二面角的平面角的正弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．