Question

設復數z滿足|z|=1，且（3+4i）•z是純虛數，且復數z對應的點在第一象限．
（I）求復數z；
（II）求

. z

z

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設復數z=a+bi，由復數z滿足|z|=1，且（3+4i）•z是純虛數聯立方程組求解a，b的值，則復數z可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的z代入，然后利用復數代數形式的除法運算化簡即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）設復數z=a+bi，因為|z|=1，所以a²+b²=1  ①
（3+4i）•z=（3a-4b）+（4a+3b）i，因為（3+4i）•z是純虛數，
所以3a-4b=0且4a+3b≠0  ②
由①②解得

a= 4 5 b= 3 5

或

a=- 4 5 b=- 3 5

（舍）．
所以z=

4

5

+

3

5

i；
（Ⅱ）

. z

z

=

4 5 - 3 5 i

4 5 + 3 5 i

=

7

25

-

24

25

i．

點評：本題考查了復數的模及復數代數形式的乘除運算，訓練了二元二次方程組的解法，是基礎的運算題．