Question

【題目】已知 f（x）= sin2x﹣2sin2x，
（1）求f（x）的最小正周期和單調遞減區間；
（2）若x∈[﹣ ， ]，求f（x）的最大值及取得最大值時對應的x的取值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 f（x）= sin2x﹣2sin2x= sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+ ）﹣1，

所以，函數的周期為T= =π，即函數f（x）的最小正周期為 π．

令 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈z，解得 kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈z，

所以f（x）的單調遞減區間為[kπ+ ，kπ+ ]

（2）解：因為﹣ ≤x≤ ，得﹣ ≤2x+ ≤ ，∴﹣ ≤sin（2x+ ）≤1．

∴﹣2≤2sin（2x+ ）﹣1≤1，

所以，函數f（x）的最大值為1．

此時，2x+ = ，即 x=

【解析】（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為2sin（2x+ ）﹣1，由此求得函數的周期，令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈z，解得x的范圍，可得f（x）的單調遞減區間．（2）根據﹣ ≤x≤ ，求得2x+ 的范圍，可得sin（2x+ ）﹣1的范圍，即為函數的值域，從而求得函數的最大值．
【考點精析】本題主要考查了三角函數的最值的相關知識點，需要掌握函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，才能正確解答此題．