Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，底面四邊形ABCD為菱形，AB=2，BD=2 ，M，N分別是線段PA，PC的中點． （Ⅰ）求證：MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）求異面直線MN與BC所成角的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：連結AC，交BD于點O，
∵M，N分別是PA，PC的中點，∴MN∥AC，
∵MN平面ABCD，AC平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠ACB是異面直線MN與BC所成的角或其補角，
∵四邊形ABCD是菱形，AB=2，BO= ，
∴∠OCB=60°，
∴異面直線MN與BC所成的角為60°．
【解析】（Ⅰ）連結AC，交BD于點O，由已知得MN∥AC，由此能證明MN∥平面ABCD．（Ⅱ）由已知得∠ACB是異面直線MN與BC所成的角或其補角，由此能求出異面直線MN與BC所成的角．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關知識，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系，以及對直線與平面平行的判定的理解，了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．