Question

【題目】如圖，四棱錐中，平面，底面是正方形，且,為中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由平面，可得，再由正方形中，得，由線面垂直的判定定理可得平面，從而可得，再由等腰三角形的性質可得，可得證；

（2）以點為坐標原點，分別以直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，再分別求出面的一個法向量和平面的一個法向量，再由向量的夾角運算可求得二面角的余弦值.

解：（1）證明：平面，，

又正方形中，，平面，

又平面，，，是的中點，

所以，平面

（2）以點為坐標原點，分別以直線為軸，軸，軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，由題意知：

，

設平面的法向量為，則，

，令，得到，，

平面，，

又正方形中，，平面

又，

平面的一個法向量為，

設二面角的平面角為，由圖示可知二面角為銳角，

則.二面角的余弦值為.