Question

【題目】已知等差數列的前n項和為，并且，數列滿足：，，記數列的前n項和為．

（1）求數列的通項公式及前n項和為；

（2）求數列的通項公式及前n項和為；

（3）求的最大值.

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）.

【解析】

（1）利用等差數列的通項公式和前n項和公式即可得出；

（2）先得到，再利用累乘法，得到數列{bn}的通項公式，再利用錯位相減法求出前n項和公式Tn；

（3）根據函數的的單調性，得到不等式，n∈N+繼而求實數λ的取值范圍

（1）設數列{an}的公差為d，

由題意得，解得，

∴an＝n，

∴．

（2）由題意得，

累乘得．

由題意得①

②

①﹣②得：

∴

（3）由上面可得，令，

則f（1）＝1，，，，．

下面研究數列的單調性，

∵，

∴n≥3時，f（n+1）﹣f（n）＜0，f（n+1）＜f（n），即f（n）單調遞減．

又n=1時，，n=2時，，即，

所以n=3或n=2時，最大為，

∴的最大值為.