Question

已知R上的不間斷函數 滿足：①當時，恒成立；②對任意的都有。又函數 滿足：對任意的，都有成立，當時，。若關于的不等式對恒成立，則的取值范圍(   )

A．     B．        C．       D．

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】

試題分析：因為，當時，恒成立，所以，函數在區間（0，+∞）是增函數；又對任意的都有。所以，是偶函數,且有g|（x|）=g（x）。而函數 滿足：對任意的，都有成立，所有函數是周期函數，周期為。所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）在R上恒成立，

∴|f（x）|≤|a2-a+2|對x∈[--2，-2]恒成立，

只要使得定義域內|f（x）|_max≤|a²-a+2|_min，

由于當x∈[-，]時，f（x）=x³-3x，

所以,f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），

該函數過點（-，0），（0，0），（，0），

且函數在x=-1處取得極大值f（-1）=2，

在x=1處取得極小值f（1）=-2，

又函數是周期函數，周期為

所以函數f（x）在x∈[--2，-2]的最大值為2，所以,令2≤|a²-a+2|解得：a≥1或a≤0．

選A.考點：利用導數研究函數的單調性、最值，函數的奇偶性、周期性，函數不等式。

點評：中檔題，解函數不等式，往往需要將不等式具體化或利用函數的圖象，結合函數的單調性。總之，要通過充分認識函數的特征，探尋解題的途徑。