Question

【題目】在等比數列{an}中，an>0 (n∈N )，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3與a5的等比中項為2.

(1) 求數列{an}的通項公式；

(2) 設，數列{bn}的前n項和為Sn，當最大時，求n的值.

Answer 1

【答案】(1) 25－n (2) 8或9

【解析】

（1）根據等比數列的性質可知a1a5=a32，a2a8=a52化簡a1a5+2a3a5+a2a8=25得到a3+a5=5，又因為a3與a5的等比中項為2，聯立求得a3與a5的值，求出公比和首項即可得到數列的通項公式；（2）把an代入到bn=中得到bn的通項公式，即可得到前n項和的通項sn；把sn代入得到，討論求出各項和的最大值時n的取值．

解　(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，

∴a＋2a3a5＋a＝25，

又an>0，∴a3＋a5＝5.

又a3與a5的等比中項為2，

∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，

∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.

∴q＝，a1＝16，∴an＝16×n－1＝25－n.

(2)bn＝log2an＝5－n，

∴bn＋1－bn＝－1，

∴{bn}是以b1＝4為首項，－1為公差的等差數列，

∴Sn＝，

∴＝，

∴當n≤8時， >0；

當n＝9時，＝0；

當n>9時， <0.

∴當n＝8或9時，＋＋＋…＋最大.