Question

已知雙曲線實軸在軸，且實軸長為2，離心率,  L是過定點的直線.
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）判斷L能否與雙曲線交于,兩點，且線段恰好以點為中點，若存在，求出直線L的方程，若不存，說明理由.

Answer 1

（1）（2）不存在過點P的直線L與雙曲線有兩交點A、B，且線段AB以點P為中點

試題分析：（1）∵2a="2" ，∴a=1，又,∴c=，
∴，
∴標準方程為：.
（2）①：若過點P的直線斜率不存在，則L的方程為：，
此時L與雙曲線只有一個交點，不滿足題意.
②: 若過點P的直線斜率存在且設為,則L的方程可設為：，
設,AB的中點,
由得，  ①
顯然，要有兩個不同的交點，則.所以,
要以P為中點，則有，解得,
當時，方程①為：,該方程無實數根，即L不會與雙曲線有交點，
所以，不存在過點P的直線L與雙曲線有兩交點A、B，且線段AB以點P為中點.
點評：每年高考都會考查圓錐曲線問題，此類題目一般運算量較大，主要考查學生的運算求解能力和分析問題、解決問題的能力.