Question

【題目】【2018福建福州市一中高三上學期期中考試】已知橢圓： 的右焦點為，點在橢圓上，且與軸交點恰為中點．

（I）求橢圓的方程；

（II）過作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點和．求四邊形的面積的最小值．

Answer 1

【答案】（I）；（II）

【解析】試題分析：（1）由題意易得，即，根據橢圓的定義可求出的值，故而可求出，即可求出橢圓的方程；（2）考慮直線的斜率為0或不存在，分別求得面積，討論當直線的斜率存在且不為零時，設直線的方程為，（ ），代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式可得，將換為得，由四邊形的面積公式，運用換元法和基本不等式，可得最小值；，即可得到面積的最小值

試題解析：（1）依題意， ，另一焦點坐標為，

，所以， ，所以，所以橢圓的方程為．

（2）當垂直于坐標軸時， ， ， ，

當不垂直于坐標軸時，設直線的方程為， ， ，

由，得，

， ， ，

，

，

同理， ，

所以，

因為，當且僅當，即時等號成立，所以.