Question

【題目】如圖所示，在三棱柱中，為棱的中點．

（1）求證：平面．

（2）若平面，，，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連接交于點，連接，則為的中點，為棱的中點，根據三角形中位線得到，再利用線面平行的判定定理證明.

（2）取的中點，連接，過作交于點，根據平面，，得到，，兩兩垂直，以為原點，，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系．分別求得平面和平面的一個法向量，代入公式求解.

（1）如圖所示：

連接交于點，連接，則為的中點，

因為為棱的中點，所以．

因為平面，平面，

所以平面．

（2）取的中點，連接，過作交于點，

因為平面，，，所以，，兩兩垂直，

故以為原點，，，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

由題意可得，，，，

所以，，．

設平面的一個法向量為，

則，

即，

令，，可得，

設平面的一個法向量為，

，

即

令可得，

設二面角的大小為，

則，

所以二面角的余弦值為．