【題目】已知橢圓
的長軸與短軸比值是2，橢圓C過點
.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點
作圓x2+y2=1的切線
交橢圓C于A，B兩點，記△AOB（O為坐標原點）的面積為S△AOB，將S△AOB表示為m的函數，并求S△AOB的最大值
【答案】（1）
（2）
，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）；S△AOB的最大值為1
【解析】
(1) 由已知可知
,及橢圓C過點
,代入橢圓方程即可求得
,進而得出結果.
(2) 由題設知切線
的斜率存在,設切線的方程為
，與橢圓方程聯立求得弦長
,由于與圓
相切,可得
=1,化簡可得
,利用基本不等式化簡即可求得結果.
解：（1）∵橢圓
的長軸與短軸比值是2，
∴，設橢圓C的方程為：
，
∵橢圓C過點，
∴
，∴
，
∴橢圓C的標準方程為
.
（2）由題意知,
.
由題設知切線的斜率存在，設切線的方程為，
由
，得
，
設A、B兩點的坐標分別為（x1，y1）（x2，y2），
則
，
又∵與圓相切，
∴=1，
，
∴=
=
=
，
∴,
∴
（當且僅當
時取等號）
∴當時，S△AOB的最大值為1.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在菱形
中，
，
為線段
的中點（如圖1）．將
沿
折起到
的位置，使得平面
平面
，
為線段
的中點（如圖2）．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求證：
平面
；
（Ⅲ）當四棱錐
的體積為
時，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】國家規定每年的
月
日以后的
天為當年的暑假.某鋼琴培訓機構對
位鋼琴老師暑假一天的授課量進行了統計，如下表所示：
授課量（單位：小時） |
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頻數 |
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培訓機構專業人員統計近年該校每年暑假天的課時量情況如下表：
課時量（單位：天） |
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頻數 |
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|
|
（同組數據以這組數據的中間值作代表）
（1）估計位鋼琴老師一日的授課量的平均數；
（2）若以（1）中確定的平均數作為上述一天的授課量.已知當地授課價為
元/小時，每天的各類生活成本為
元/天；若不授課，不計成本，請依據往年的統計數據，估計一位鋼琴老師天暑假授課利潤不少于
萬元的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市教育局為了監控某校高一年級的素質教育過程，從該校高一年級16個班隨機抽取了16個樣本成績，制表如下：
抽取次序 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
測評成績 | 95 | 96 | 96 | 90 | 95 | 98 | 98 | 97 |
抽取次序 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
測評成績 | 97 | 95 | 96 | 98 | 99 | 96 | 99 | 96 |
令
為抽取的第
個學生的素質教育測評成績，
，經計算得，
，
.以下計算精確到0.01.
（1）設
為抽取的16個樣本的成績，用頻率估計概率，求的分布列、數學期望
和標準方差
；
（2）在抽取的樣本成績中，如果出現了在
之外的成績，就認為本學期的素質教育過程可能出現了異常情況，需對本學期的素質教學過程進行反思，同時對下學期的素質教育過程提出指導性的建議.從該校抽樣的結果來看，是否需對本學期的素質教學過程進行反思，同時對下學期的素質教育過程提出指導性的建議？
（3）列出不小于的所有樣本成績，設列出的這些成績的中位數為
，每次從列出的這些成績中隨機抽取1個成績，有放回地連續抽取3次，求恰好有2次抽得的成績為的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
： 
經過橢圓
： 
的左右焦點
，且與橢圓
在第一象限的交點為
，且
三點共線，直線
交橢圓
于
， 
兩點，且
（
）.
（1）求橢圓
的方程；
（2）當三角形
的面積取得最大值時，求直線
的方程.
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