Question

【題目】已知橢圓的離心率為，直線經過橢圓的左頂點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線（）交橢圓于兩點（不同于點）.過原點的一條直線與直線交于點，與直線分別交于點.

（ⅰ）當時，求的最大值；

（ⅱ）若，求證：點在一條定直線上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析.

【解析】

（1）將點代入直線方程可求得，結合離心率和橢圓關系可求得，進而得到橢圓方程；

（2）設，

（i）將直線與橢圓方程聯立可得韋達定理的形式，利用弦長公式表示出，由二次函數最大值可求得的最大值；

（ii）設直線，直線，兩式聯立可求得，同理可得，根據得到，整理得，將直線與橢圓方程聯立可得韋達定理的形式，代入上式得，從而得到，將直線與直線聯立可求得，進而得到結果.

（1）設

點在直線上 ，解得：

離心率 ，

橢圓的方程為

（2）設，

（i） 由消去可得：

即，由得：

，

當且僅當時，取到最大值

（ii）若，則為的中點

設直線，直線

兩個方程聯立可得：，解得：

同理可得：

即

化簡得：…①

由得：，即

由得：

，

代入①得：

，即

若，則直線過點，與已知不符合

又

又由，聯立消去得：

點在定直線上